函数中存在反函数的条件是什么?

发布网友 发布时间：2022-04-20 12:27

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热心网友 时间：2023-07-17 03:05

一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：

（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超到一个的值上去。

（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。

若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线  必对所有实数k，通过且只通过一次。

扩展资料

反函数存在定理：

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。 

参考资料：百度百科-反函数

热心网友 时间：2023-07-17 03:05

求反函数基本方法是由原函数解得x，交换x、y，再求出原函数值域，即反函数定义域。当由原函数解出的x有多个值时，此函数不存在反函数，例如函数y=x平方-6，对于x有2个y值与之对应，因此不存在反函数。

热心网友 时间：2023-07-17 03:06

函数 在某个区间内 存在反函数的充要条件是 （从映射角度说），象（y） 与 原象（x） 一一对应

热心网友 时间：2023-07-17 03:06

是因为要满足一一映射吧。
在定义域内有单调性就是说一个x能够对应一个y，不会出现重复的。反过来也是一样，一个y也要只能对应一个x值才能有反函数
补充：对，就是这样，如果x的定义域是0到正无穷或负无穷是有反函数的，就是y＝根号x或－根号x。
当定义域只有一半时，就是一一对应的了。

热心网友 时间：2023-07-17 03:07

函数中存在返函数的充分必要条件是这个函数必须是“一一对应”的。
这个证明并不复杂，只要你有高中水平的数学基础和数学思维就可以证明它。