高等数学复合函数求导

发布网友 发布时间：2022-04-20 16:09

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热心网友 时间：2022-06-08 05:32

链式法则（chain rule），是求复合函数导数的一个法则。　　若h(x)=f(g(x)) 　　则h'(x)=f'(g(x))g'(x)

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所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g(f(x))=3x+3 .

举例
(1)求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3的导数。设 g(x) = x^2 + 1，h(x) = x^3.

f'(x)=h'(g(x))g'(x)

=[3(g(x))^2](2x)

=[3(x^2+1)^2](2x)

=6x(x^2+1)^2

(2)求函数arctg sin x 的导数。

arctg sin x的导数
arctg sin x的导数

证明
证法（一）
先证明个引理

f(x)在点X0可导的充要条件是在x0的某领域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 　　

证明：

设f(x)在x0可导，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心领域)；

H(x)=f'(x0),x=x0 　　

∵LIM(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 　　

∴H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 　　

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 　　

∵存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0) 　　

∴f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 　　

引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 　　

证明：

由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0) 　　

又由u=

热心网友 时间：2022-06-08 05:32

第一条线那里，写的有点别扭而已，你把负号放到分子1上，括号里就是对上式分母求导，链式法则逐步求导就是了
第一步就是典型的1/（1+X）对X求导，把fai一撇看成X，再乘以fai一撇对x的导数追问fai一撇就等于az/ax吗