复合函数如何求导公式

发布网友 发布时间：2022-04-20 16:09

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共14个回答

懂视网 时间：2022-06-06 03:38

复合函数求导方法是什么？让我们一起了解一下吧。

复合函数是指以一个函数作为另一个函数的自变量，如设f(x)=4x，g(x)=4x+4，g(f(x))就是一个复合函数，若h(a)=f[g(x)]，则它的导数h'(a)=f'[g(x)]g'(x)。

几种常见函数的导数公式： ① C'=0(C为常数)；② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)； ③(sinx)'=cosx；④ (cosx)'=-sinx；⑤ (e^x)'=e^x；⑥ (a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）。

今天的分享就是这些，希望能帮助到大家。

热心网友 时间：2022-06-06 00:46

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复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

扩展资料：

注意事项：

1、若x处于分母位置，则分母x不能为0。 

2、偶次方根的被开方数不小于0。

3、对数式的真数必须大于0。 

4、指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 

5、指数为0时，底数不得为0。 

6、如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 

7、实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

参考资料来源：百度百科-复合函数

热心网友 时间：2022-06-06 02:04

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).

以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
一开始会做不好，老是要对照公式和例子，
但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。

热心网友 时间：2022-06-06 03:38

规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增； 增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

热心网友 时间：2022-06-06 05:30

导数是什么，是k,k是什么。是（y1-y2)÷（x1-x2).那么对于一个复合函数。（z1-z2)÷（y1-y2)的值乘以（y1-y2)÷（x1-x2)等于（z1-z2)÷（x1-x2).所以可证明书上公式。
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热心网友 时间：2022-06-06 07:38

f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)，
从而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)
呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)
y'={sin(3-x)]'=-cos(x)
一开始会做不好，老是要对照公式和例子，
但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了

热心网友 时间：2022-06-06 10:02

在f(g(x))=sin(2x)中，令g(x)=u=2x,知f(u)=sinu,按照基本函数的导数规则，就有f'(u)=cosu了，又u=2x所以f'(u)=cos2x,但这种求法是错的，为什么呢？

热心网友 时间：2022-06-06 12:44

已知φ(0)=0，求f[φ(x)]在x=0点的导数。
☆☆f[φ(x)]-f(0) 洛☆f'[φ(x)]φ'(x)
lim ——————— = lim———————
x→0 ☆φ(x) ☆ ☆ x→0 ☆φ'(x)
这是错误的，但是哪里错了？

热心网友 时间：2022-06-06 15:42

后面两个应该错了吧，
应该是-3sin（3x）吧

热心网友 时间：2022-06-06 18:56

我一个考研生竟然要百度这东西，完事儿还只能说一句一楼说的对

热心网友 时间：2022-06-06 22:28

链式法则是求复合函数的导数（偏导数）的法制，若 I，J 是直线上的开区间，函数 f(x) 在 I 上有定义 ? 处可微，函数 g(y) 在 J 上有定义 ? ，在 f(a) 处可微，则复合函数 ? 在 a 处可微 ( ? 在 I 上有定义)，且 ? . 若记 u=g(y),y=f(x)，而 f 在 I 上可微，g 在 J 上可微，则在 I 上任意点 x 有
?
即 ? ，或写出
?
这个结论可推广到任意有限个函数复合到情形，于是复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的 导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。
多元函数的链式法则
若多元函数 u=g(y1,y2,...,ym) 在点 ?=(b1,b2,...,bm) 处可微，bi=fi(a1,a2,...,an)(i=1,2,...,m)，每个函数 fi(x1,x2,...,xn) 在点 (a1,a2,...,an) 处都可微，则函数 u=g(f1(x1,x2,...,xn)，f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn)) 也在(a1,a2,...,an) 处可微，且
?
?
这就是多元函数的链式法则，若同时考察一组（p 个）复合函数 u1,u2,...,up，其中 uk=gk(fi(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))(k=1,2,...,p)，将它们的偏导数写成矩阵（雅可比矩阵)，则可以看到链式法则在形式上更有规律性，这时
?
若对于上面考察的这些函数，令 ?=(g1,g2,...,gp)，?=(f1,f2,...,fm)，于是，? 是 p 维向量值函数（定义与 ?m 的子集上），? 是 m 维向量值函数（定义于?n 的子集上），按照定义，它们的导数是相应的雅可比矩阵，
?
（等式右端为两矩阵?‘ (? (?)) 与?‘ (?) 的矩阵乘积），其中?=(a1,a2,...,an).这就是向量值函数的链式法则，它在形式上与一元函数的链式法则完全相同。[1]

热心网友 时间：2022-06-07 02:16

麻蛋，大学生表示我特么不会了

热心网友 时间：2022-06-07 06:20

按你所说，那以此类推之后的两个式子的答案不就错了？答案不就应该是：-3sin（3x）和-cos（3-x）我做的对么？不对的话那我哪里理解错了？！T^T求解答！

热心网友 时间：2022-06-07 10:42

用伟大的母语简单的说就是：复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）
原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u
中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2
最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。
其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方， v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。