求幂级数∞n=1xn?1n3n的收敛域及和函数

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:24

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热心网友 时间：2024-10-25 05:42

由于R＝limn→∞|anan+1|=limn→∞(n+1)3n+1n3n＝3
而当x=3时，幂级数∞n＝113n发散；
当x=-3时，幂级数∞n＝1(?1)n?1n收敛
∴幂级数∞n＝1xn?1n3n的收敛域为[-3，3）
设S（x）=∞n＝1xn?1n3n，x∈（-3，3），则
xS(x)＝∞n＝1xnn3n
∴(xS(x))′＝∞n＝1xn?13n=13∞n＝1(x3)n?1＝13?11?x3=13?x，x∈（-3，3），
∴xS(x)＝∫x013?xdx＝?ln(3?x)，x∈（-3，3）
∴S(x)＝?1xln(3?x)，x∈（-3，3）
又由和函数的连续性，知上式S（x）对x=-3也成立
∴S(x)＝?1xln(3?x)，x∈[-3，3）

热心网友 时间：2024-10-25 05:37