...△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为...

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:54

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热心网友 时间：2024-11-06 07:38

（1）设顶点A的坐标为（x，y），则k AB = y x+2 ，k AC = y x-2 ，…（2分）
∵k AB ?k AC =- 1 4 ，
∴ y x+2 ? y x-2 =- 1 4 ，
∴ x 2 4 +y 2 =1．
∴曲线E的方程为 x 2 4 +y 2 =1（x≠±2）．…（4分）
（2）曲线E与y轴负半轴的交点为D（0，-1）．
∵l 1 的斜率存在，∴设l 1 的方程为y=kx-1，
代入 x 2 4 +y 2 =1，得M（ 8k 1+4 k 2 ， 4 k 2 -1 1+4 k 2 ），
从而DM= ( 8k 1+4 k 2 ) 2 +( 4 k 2 -1 1+4 k 2 +1 ) 2 = 8|k| 1+ k 2 1+4 k 2 ，…（6分）
用- 1 k 代k得DN= 8 1+k2 4+k2 ．
∴△DMN的面积S= 1 2 ? 8|k| 1+k2 1+4k2 ? 8 1+k2 4+k2
= 32(1+k2)|k| (1+4k2)(4+k2) ．…（8分）
则 S |k| = 32(1+k2) (1+4k2)(4+k2) ，
∵k≠0且k≠± 1 2 ，k≠±2，令1+k 2 =t，
则t＞1，且t≠ 5 4 ，t≠5，
从而 S |k| = 32t (4t-3)(t+3) = 32t 4t2+9t-9 = 32 9+4t- 9 t ，
∵4t- 9 t ＞-5，且4t- 9 t ≠- 11 5 ，4t- 9 t ≠ 91 5 ．
∴9+4t- 9 t ＞4，且9+4t- 9 t ≠ 34 5 ，9+4t- 9 t ≠ 136 5 ，
从而 S |k| ＜8，且 S |k| ≠ 80 17 ， S |k| ≠ 20 17 ，
即 S |k| ∈（0， 20 17 ）∪（ 20 17 ， 80 17 ）∪（ 80 17 ，8）．…（10分）