...△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-1,0),(1,0),点G是△ABC的重心,y...

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:54

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热心网友 时间：2024-10-31 18:12

（I）设点C坐标为（x，y）
因为G为△ABC的重心
故G点坐标为(x3，y3)（2分）
由点M在y轴上且MG∥AB知点M的坐标为(0，y3)∵|MC|=|MB|∴x2+(23y)2＝1+(y3)2，
即x2+y23＝1(y≠0)
∴△ABC的顶点C的轨迹E的方程是x2+y23＝1(y≠0)（5分）
（II）设直线y＝kx+b与x2+y23＝1的两交点为P（x1，y1），Q（x2，y2）
把y＝kx+b与x2+y23＝1联立得：y＝kx+bx2+y23＝1
消去y得：（k2+3）x2+2kbx+b2-3=0（7分）
∴△=4k2b2-4（k2+3）（b2-3）=12（k2-b2+3）＞0
且x1+x2＝?2kbk2+3，x1x2＝b2?3k2+3．（9分）
∵AQ?AQ＝0，∴(x1+1)(x2+1)+y1y2＝0
故（k2+1）x1x2+（kb+1）（x1+x2）+b2=0
代入整理得：k2+kb-2b2=0∴k=b或k=-2b．（10分）
（1）当k=b时，y=kx+b=k（x+1）直线过点（-1，0）不合题意舍去．
（2）当k＝?2b时，y＝kx+b＝k(x?12)，直线过点(12，0)
综上知：k=-2b，直线过定点(12，0)（14分）