...系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线 x- 3 y-4=0 相切.(Ⅰ...

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:40

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热心网友 时间：2024-11-05 13:15

（本小题共13分）
（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线x- 3 y-4=0与圆O相切，
∴d=r= |0- 3 ×0-4| 1+3 =2，…（3分）
则圆O的方程为x 2 +y 2 =4；…（5分）
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，理由为：
法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d= 3 1+ k 2 ＜r=2，
解得：k＞ 5 2 或k＜- 5 2 ，…（7分）
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，…（8分）
则OM与AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d= 1 2 |OM|=1，…（10分）
即d= 3 1+ k 2 =1，整理得：k 2 =8，…（11分）
解得：k=±2 2 ，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形；…（13分）
法2：记OM与AB交于点C（x 0 ，y 0 ），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为y=- 1 k x，…（7分）
将直线l与直线OM联立得：
y=kx+3 y=- 1 k x ，
解得： x 0 = -3k k 2 +1 y 0 = 3 k 2 +1 ，
∴点M坐标为（ -6k k 2 +1 ， 6 k 2 +1 ），…（9分）
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：（ -6k k 2 +1 ） 2 +（ 6 k 2 +1 ） 2 =4，
解得：k 2 =8，…（11分）
解得：k=±2 2 ，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形．…（13分）