...0)并(0,正无穷),对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1...

发布网友 发布时间：2024-10-23 14:18

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热心网友 时间：2024-10-25 19:56

证明：令x1=x2=1
代入 f(x1x2)=f(x1)+f(x2) (*)
得到 f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0

取x≠0，在（*）中令x1=1/x,x2=x,则
0 = f(1)=f[(1/x)·x]=f(1/x)+f(x)
∴ f(1/x)=-f(x)

下面证明f(x)是偶函数：
显然定义域关于原点对称。以D代表定义域。
任取x∈D，要证明 f(-x)=f(x)
在(*)式中令x1=x2=-1,则
0=f(1)= f[-1·(-1)]=f(-1)+f(-1)
∴ f(-1)=0
当 x=0 时，当然有f(-x)=f(0)=f(x)
任取x≠0，在(*)中令x1=-x，x2=1/x,则
f(-x·1/x)=f(-x)+f(1/x)
即 0=f(-1)=f(-x)-f(x)
∴ f(-x)=f(x)
∴ f(x)是偶函数。