已知函数f(x)=sinx-ax-bxcosx(a∈R,b∈R).(1)若b=0,讨论函数f(x)在区...

发布网友 发布时间：2024-10-23 07:25

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热心网友 时间：2024-10-31 00:42

（1）b=0时，f（x）=sinx-ax，则f′（x）=cosx-a，
当a≥1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减；
当a≤-1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增；
当-1＜a＜1时，存在θ∈（0，π），使得cosθ=a，即f（θ）=0，
①x∈（0，θ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，θ）上单调递增，
②x∈（θ，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（θ，π）上单调递减．
（2）a=2b时，f（x）=sinx-a2x（2+cosx），猜测f（x）＜0恒成立，
证明：f（x）＜0等价于sinx2+cosx＜a2x，
令g（x）=sinx2+cosx?a2x，
则g（x）=2cosx+1(2+cosx)2?a2=?3(12+cosx?13)2-a2+13，
当a2≥13，即a≥23时，g′（x）≤0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
所以当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜0恒成立．