...1,a∈R.(1)当a=?12时,求函数y=f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的...

发布网友 发布时间：2024-10-23 19:23

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（1）当a＝?12时，f(x)＝lnx?12x2+1，f/(x)＝?x+1x，…（1分）
f/(x)＝1?x2x，令f′（x）=0，解得x=1或x=-1…（3分）
∵x＞0，x∈(0，1)，f/(x)＞0，f（x）在（0，1）上单调递增
x∈(1，+∞)，f/(x)＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递增…（5分）
（2）法一：函数y=f（x）的图象总在直线y＝12的下方，可知f(x)max＜12…（6分）
f/(x)＝2ax+1x＝2ax2+1x，x＞0…（7分）
①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无最大值故不成立…（8分）
②当a＜0时，f/(x)＝2ax+1x＝2ax2+1x＝2a(x2+12a)x，x＞0
令f′（x）=0，则x＝?12a．
当x∈(0，?12a]时，f′（x）＞0；
当x∈(?12a，+∞)时，f′（x）＜0.f(x)在(0，?12a]单调递增，(?12a，+∞)单调递减
故x＝?12a为函数f（x）的唯一极大值点，…（10分）
所以函数f（x）的最大值为f（?12a）=12+12ln（?12a）
由题意有12+12ln(?12a)＜12，解得a＜?12．…（12分）
（2）法二
函数y=f（x）的图象总在直线y＝12的下方，可知f(x)＜12恒成立 …（6分）
即  lnx+ax2+12＜0对于x∈（0，+∞）恒成立              …（7分）
于是有 a＜?lnx?12x2令g(x)＝?lnx?12x2，x∈（0，+∞）…（8分）
则只需求g（x）的最小值即可．∵g′(x)＝2lnxx3
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
∴g（x）在x=1处取到极小值，也就是最小值为?12…（10分）
所以a的取值范围为(?∞，?12)．…（12分）