如图,已知矩形ABCD,AB= 3 ,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边...

发布网友 发布时间：2024-10-23 17:25

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（1）过P作PQ⊥BC于Q，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD ∥ BC．
∴PQ=AB= 3 ．
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中sin60°= 3 PF ，
∴PF=2．
∴△PEF的边长为2．

（2）方法一：△ABC ∽ △CDA．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD ∥ BC，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠D=90°，
∴△ABC ∽ △CDA．
方法二：△APH ∽ △CFH．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD ∥ BC，
∴∠2=∠1，
又∵∠3=∠4，
∴△APH ∽ △CFH．

（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1，
证法一：在Rt△ABC中，AB= 3 ，BC=3，
∴tan∠1= AB BC = 3 3 ．
∴∠1=30°．
∵△PEF是等边三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2．
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°．
∴∠1=∠3．
∴FC=FH．
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，FC=FH，EF=2，
∴BE+FC=3-2=1，
∴PH-BE=1．
证法二：在Rt△ABC中，AB= 3 ，BC=3，
∴tan∠1= AB BC = 3 3 ．
∴∠1=30°．
∵△PEF是等边三角形，PE=2，
∴∠2=∠4=∠5=60°．
∴∠6=90°．
在Rt△CEG中，∠1=30°，
∴EG= 1 2 EC，即EG= 1 2 （3-BE）．
在Rt△PGH中，∠7=30°，
∴PG= 1 2 PH．
∴PE=EG+PG= 1 2 （3-BE）+ 1 2 PH=2．
∴PH-BE=1．
证法三：在Rt△ABC中，AB= 3 ，BC=3，
∴tan∠1= AB BC = 3 3 ，AC 2 =AB 2 +BC 2 ∴∠1=30°，AC=2 3 ．
∵△PEF是等边三角形，
∴∠4=∠5=60°．（3分）
∴∠6=∠8=90°．
∴△EGC ∽ △PGH，
∴ PH EC = PG EG ．
∴ PH 3-BE = 2-EG EG ①
∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，
∴△CEG ∽ △CAB．
∴ EG AB = EC AC 即 EG 3 = 3-BE 2 3 ．
∴EG= 1 2 （3-BE）②
把②代入①得， PH 3-BE = 2- 1 2 (3-BE) 1 2 (3-BE) ．
∴PH-BE=1．