...f(x/5)=1/2f(x),且当0≤x1≤x2≤1时,​有f(x1)≤f(x2)_百度知 ...

发布网友 发布时间：2024-10-23 03:45

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热心网友 时间：2024-10-23 11:27

①若f(x/5)=1/2f(x)表示f(x/5)=(1/2)f(x)
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)=0，
∵f(x)+f(1-x)=1······(1)，
∴令x=0，则f(1)=1-f(0)=1，
∵f(x/5)=(1/2)f(x)，
∴令x=5，则f(5)=2f(1)=2，
在(1)式中令x=5，则f(5)+f(-4)=1，
∴f(4)=-f(-4)=f(5)-1=1，
在(1)式中令x=4，则f(4)+f(-3)=1，
∴f(3)=-f(-3)=f(4)-1=0，
在(1)式中令x=3，则f(3)+f(-2)=1，
∴f(2)=-f(-2)=f(3)-1=-1，
在(1)式中令x=2，则f(2)+f(-1)=1，
∴f(1)=-f(-1)=f(2)-1=-2，
这与f(1)=1矛盾！
∴题目有误！
②若f(x/5)=1/2f(x)表示f(x/5)=1/(2f(x))
∵当0≤x1≤x2≤1时，有f(x1)≤f(x2)，
∴f(x)在[0，1]上单调递增，
若x∈[n，n+1](n∈Z)，则x-1∈[n-1，n]，
∴f(x)=1-f(1-x)=1+f(x-1)，
∴f(x)在[n，n+1]的单调性与f(x)在[n-1，n]的单调性相同，
又∵f(x)在[0，1]上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x/5)在R上单调递增，
又∵f(x/5)=1/(2f(x))，
∴f(x/5)在R上单调递减，
这就产生了矛盾！
∴题目有误！
综上，题目有误！