用海仑-秦九韶公式求三角形面积

发布网友 发布时间：2024-10-23 21:22

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热心网友 时间：2024-11-06 14:40

海伦公式为
S=√[p*(p-a)*(p-b)*(p-c）]
其中，a，b，c为三角形的三边，p=(a+b+c)/2

其实海伦公式很好推的
推导过程如下
（为方便起见，仅以锐角三角形为例推导）
假设三角形三边为a，b，c，c边对应的高为h
则根据勾股定理
√(a²-h²)+√(b²-h²)=c
即√(a²-h²)=c-√(b²-h²)
两边同时平方
a²-h²=c²-2c√(b²-h²)+b²-h²
2c√(b²-h²)=c²+b²-a²
4c²b²-4c²h²=(c²+b²-a²)²
(2cb-c²-b²+a²)(2cb+c²+b²-a²)=4c²h²
(a²-(b-c)²)((b+c)²-a²)=4c²h²
(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)=4c²h²
则
S=ch/2
=√[(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)]/4

令a+b+c=2P
则
a-b+c=2P-2b
a+b-c=2P-2c
b+c-a=2P-2a
则
S=√[(2P-2b)(2P-2c)(2P-2a)2P]/4
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

边长为13,14,15的三角形的面积为
S
=√(21×(21-13)×(21-14)×(21-15))
=√(21×8×7×6)
=84

热心网友 时间：2024-11-06 14:37

(1)先求出半周长p=(a+b+c)/2
(2)代入海伦公式：S＝根号下[p*(p-a)*(p-b)*(p-c）]
就本题：
p=(13+14+15)/2=21
S=根号下[21*(21-13)*(21-14)*(21-15)]
=根号下(21*8*7*6)