已知函数f(x)=logm^x(m为常数,0<m<1),且数列{f(an)}是首项为2,公差为...

发布网友 发布时间：2024-10-23 21:24

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热心网友 时间：2024-10-27 10:38

(1)因为{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列
所以f(an)=2+2(n-1)
即Logman=2n, 所以an=m^(2n)
又因为bn=an*f(an)=2n*m^(2n)
当m=√2/2时，bn=n/[2^(n-1)]
Sn=b1+b2+.....+bn
=1/(2^0)+2/(2^1)+3/(2^2)+.....+n/[2^(n-1)] (1)
两边同乘以1/2，可得
1/2Sn=1/(2^1)+2/(2^2)+3/(2^3)+.....+(n-1)/[2^(n-1)]+n/(2^n) (2)
用(1)式减(2)式，可得
1/2Sn=1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)+.....+1/[2^(n-1)] - n/(2^n)
=[1-(1/2)^n]/(1-1/2)-n/(2^n)
两边同乘以1/2，可得bn的前n项和
Sn=4-1/[2^(n-2)]-n/[2^(n-1)]
(2)因为cn=an*lgan，所以cn=m^(2n)*lgm^(2n)
因为{cn}中每一项恒小于它后面的项 ，即
c(n+1)>cn恒成立
即 m^[2(n+1)]*lgm^[2(n+1)]>m^(2n)*lgm^(2n)
因为 m^(2n)>0, 所以两边可以同时约掉它而不等号不变，剩m^2*(n+1)lg(m^2) >nlg(m^2)
又因为 m为常数,0<m<1，所以lgm^2<0
两边约掉lgm^2，不等号方向改变，变为
m^2*(n+1)<n, 且m^2<1
得到m^2/(1-m^2)<n, 对任意的n大于等于1成立，则
m^2/(1-m^2)<n的最小值1,
解得0<m<√2/2
即m的取值范围是0<m<√2/2

热心网友 时间：2024-10-27 10:41

数列｛f（an）｝是首项为2，公差为2的等差数列,还是公比为2的等比数列?