...x^2-y^2=1的两个焦点F1,F2距离之和为定值,且cosF1PF2最小值为-1/...

发布网友 发布时间:2024-10-23 21:58

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热心网友 时间:2024-11-06 00:48

解:两个焦点F1,F2的坐标为(-√2,0)、(√2,0),F1F2=2√2,设PF1+PF2=2a,则
cos∠F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2PF1PF2)=[(PF1+PF2)^2-2PF1PF2-8)/(2PF1PF2)
=(4a^2-8)/(2PF1PF2)-1≥(4a^2-8)/[(PF1+PF2)^2/2]-1=(2a^2-4)/a^2-1,即
(2a^2-4)/a^2-1=1/3
a=√6,所以P轨迹方程为椭圆,a=√6,c=√2,b=2
P轨迹方程为:x^2/6+y^2/4=1

热心网友 时间:2024-11-06 00:47

(1)
双曲线的焦点:c²=a²+b²=3+2=5,焦点在x轴
根据椭圆定义可知,P点轨迹方程为一椭圆,高长之和=2a,b²=a²-c²
则此方程为x²/a²+y²/b²=1

设P点到两焦点的长度分别为m,n,两线夹角为P,则m+n=2a
根据余弦定理:
(2c)²=m²+n²-2mn*cos(p)
(2c)²=(m+n)²-2mn(1+cos(p))
2mn(1+cos(p)=4c²-4a²=4b²
cos(p)=4b²/(2mn)-1

mn越大,则 cos(p)越小,当mn取得最大值时,cos(p)取得最小。

mn=m(2a-m)=2am-m²=-(m-a)²+a²
根据此式,当m=a时,mn取得最大值a²

所以,-1/9=4b²/(2a²)-1
b²=a²-5

根据这两个关系式,解出:a²=9,b²=4
所以
点P的轨迹方程为:x²/9+y²/4=1
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