已知函数 (其中a,b为实常数)。(Ⅰ)讨论函数 的单调区间:(Ⅱ)当 时...
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发布时间：2024-10-24 05:15
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时间：2024-10-24 05:34
（I）当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；
当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．
（II）-a<b<a 3 -a．（III）存在实数m满足条件，此时m∈[ ]．
试题分析：（I）求导函数，对参数a进行讨论，利用导数的正负，确定函数的单调区间；
（II）确定f（x）的极大值为f（0）=a+b，f（x）的极小值为f（a）=a+b-a 3 ，要使f（x）有三个不同的零点，则f(0)＞0，f(a)＜0，从而得证；
（III）先确定|x 1 -x 2 |= ，并求得其最小值，假设存在实数m满足条件，则m 2 +tm+1≤（ ） min ，即m 2 +tm+1≤4，即m 2 +tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，从而可求m的范围．
解：（I）∵ ，
当a=0时， ≥0，于是 在R上单调递增；
当a>0时，x∈(0，a)， ，得 在(0，a)上单调递减；
x∈(-∞，0)∪(a，+∞)， ，得 在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增；
当a<0时， ， ，得 在(0，a)上单调递减；
x∈(-∞，a)∪(0，+∞)， 得 在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增．
综上所述：当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)；
当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a，0)．……3分
（II）当a>0时，由（I）得f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上是增函数，f(x)在(0，a)上是减函数；则f(x)的极大值为f(0)=a+b，f(x)的极小值为f(a)=a+b-a 3 ．
要使f(x)有三个不同的零点，则 即 可得-a<b<a 3 -a．…8分
（III）由2x 3 -3ax 2 +a+b=x 3 -2ax 2 +3x+a+b，得x 3 -ax 2 -3x=0即x(x 2 -ax-3)=0，
由题意得x 2 -ax-3=0有两非零实数根x 1 ，x 2 ，则x 1 +x 2 =a，x 1 x 2 =-3，
即 .∵ f (x)在[1，2]上是减函数，
∴ ≤0在[1，2]上恒成立，
其中x-a≤0即x≤a在[1，2]上恒成立，∴ a≥2．∴ ≥4．
假设存在实数m满足条件，则m 2 +tm+1≤( ) min ，即m 2 +tm+1≤4，即m 2 +tm-3≤0在t∈[-1，1]上恒成立，
∴ 解得 ．
∴ 存在实数m满足条件，此时m∈[ ]． …………………14分
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