微积分题目求解答∫{sinx/(cosx)^3} dx
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发布时间：2024-10-24 07:05
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时间：2024-10-24 13:10
解：因为
y
=(sin
x)^2,
所以
y'
=2
sin
x
(sin
x)'
=2
sin
x
cos
x
=
sin
2x,
y''
=
2
cos
2x
=
2
sin
(2x
+π/2),
y'''
=4
cos
(2x
+π/2)
=4
sin
(2x
+π).
下面用数学归纳法证明,
y的n阶导数
=2^(n-1)
sin
[
2x
+(n-1)π
].
(n∈n+)
(1)
当
n=1
时,
等式成立.
(2)
假设
n=k
时,
等式成立,
即
y的k阶导数
=2^(k-1)
sin
[
2x
+(k-1)π
],
则
y的(k+1)
阶导数
=
(2^k)
cos
[
2x
+(k-1)π
]
=
(2^k)
sin
[
2x
+kπ
].
即
当
n=k+1
时,
等式成立.
综上,
y的n阶导数
=2^(n-1)
sin
[
2x
+(n-1)π
].
=
=
=
=
=
=
=
=
=
高阶导数，常用数学归纳法，或莱布尼兹公式。
