设a为实数,函数f(x)=x平方=(x-a)的绝对值+1,x属于R 求f(x)的最小值

发布网友 发布时间：2024-10-24 12:29

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热心网友 时间：1天前

若x>=a，注意前提，目前相当于说求当x∈[a,+∞)时，函数的最小值问题。
则f(x)=x^2+x-a+1
=(x+1/2)^2-a+3/4
对称轴x=-1/2，顶点纵坐标为-a+3/4
当对称轴在区间[a,+∞)的左侧时，即a>-1/2函数在[a,+∞)区间内单调递增，则最小值在x=a处取得小值，此时最小值为f(a)=a^2+1;
当对称轴在区间[a,+∞)内时，即a<=-1/2由于抛物线开口向上，则最小值在顶点处取得=-a+3/4

这种告知一个区间求最值问题的时候，一定要考虑对称轴的几种情况：1)对称轴在区间左边的时候，函数单调性如何？2）对称轴在区间右边的时候，函数单调性如何？3）对称轴在区间之内时，极值可能为顶点，也可能为两个区间端点函数值得较大者或者较小者。

第二种情况若x<a我就不再做了，方法和上面完全一样，打数学的公式太麻烦了。

我现在举个例子给你理解我上面说讲的，你自己画出图像来思考。
若函数y=-x2-2ax(0<=x<=1)的最大值为a2,求实数a的值解：
y=-x^2-2ax=-(x+a)^2+a^2
则对称轴为x=-a
当对称轴x=-a<0(对称轴在区间左侧），即a>0时，在0≤x≤1时，函数值随着x变大而减小，此时当x=0取得最大值，
即：0=a^2则a=0不满足题意，舍去
当对称轴x=-a>1（对称轴在区间右侧），即a<-1时,在0≤x≤1时，函数值随着x变大而增大，此时当x=1时取得最大值；
即1-2a=a^2
则a=-1+√2或-1-√2，而a<-1
则a=-1-√2满足要求
当0≤-a≤1即-1≤a≤0时，（对称轴在区间之间）函数的最大值在顶点处取得，则有
a^2=a^2恒成立

综上可知：-1≤a≤0或a=-1-√2